Aplicaciones empresariales de las funciones cuadráticas.

Aplicaciones empresariales de las funciones cuadráticas.

Objetivo: Encontrar el equilibrio del mercado usando funciones de oferta y demanda.

Ejemplo/Aplicación:

Una tienda ha vendido 200 reproductores de mp3 a la semana, a 350 dólares cada uno. Una investigación de mercadeo indica que por cada 10 dólares de descuento que se ofrezca a los compradores, el número de aparatos vendidos se incrementará en 20 a la semana. Encuentre las funciones de demanda y de ingreso.

¿Cuán grande debe ser la rebaja para maximizar el ingreso?

Si x denota las reproductoras vendidas  la semana, entonces el incremento semanal en las ventas es de x-200. Por cada incremento de 20 reproductores vendidos, el precio disminuye 10 dólares. De modo que por cada reproductor adicional vendido, la disminución en el precio es 1/20 * 10 y la función de la demanda es:

p(x) = 350 – 10/20 (x-200) = 450 – 1/2 x

La función de ingreso es:

R(x) = xp (x) = 450x – ½ x^2

Como R’(x) = 450 – x, vemos que R’ (x) = 0 cuando x = 450. Por la prueba de la primera de la derivada (o sencillamente al observar que la gráfica de R es una parábola que se abre hacia abajo), éste valor de x da un máximo absoluto. El precio correspondiente es:

p (450) = 450 – ½ (450) = 225

Y el descuento es de 350 – 225 = 125. Por lo tanto, para maximizar el ingreso de la tienda debe ofrecer un descuento de 125 dólares.

àAhora explicando de dónde es que vienen todas esas cosas que sacamos. A todo esto ustedes saben, esto no se incluirá en el enviado al profesor.

Analizando el problema:

Tenemos una tienda que en una semana vendió (ha vendido) 200 reproductores a 350 dólares. Después de una investigación de mercadeo se sabe que por cada 10 dólares de descuento ofrecidos a los compradores, el número de aparatos incrementará en 20 a la semana.

Datos:

-200 reproductores vendidos a la semana

-Precio: 350 dólares

-Descuento: 10 dólares

-Incremento: 20 reproductores

Con éstos datos debemos encontrar:

-Función de la demanda

-Función de Ingreso

-Rebaja del producto (para maximizar el ingreso)

Primero que nada, debemos encontrar nuestra variable independiente y nuestra variable dependiente, en el caso de la función de la Demanda, ésta es determinante en el Precio que se dará al público. Por lo que, nuestra variable independiente es la Demanda, y la dependiente es el Precio. Esto sucede así, porque en éste Modelo Matemático la cantidad de reproductores que sean comprados, influirán en el precio al que serán vendidos y a su vez, éste precio determinará los Ingresos de la Tienda.

De ésta manera, podemos llamar x a nuestra variable independiente, (en realidad le podemos colocar el nombre que queramos, pero por costumbre y comodidad usaremos x). Por lo tanto llamaremos x a la cantidad de reproductores vendidos a la semana (esto, porque recordemos que el incremento de nuestras ventas será a la semana) y tomando en cuenta esto, el incremento semanal en las ventas será de x -200. Se hace de ésta manera porque 200 es la cantidad de reproductores que se han vendido en una semana y se toma como si 200 fuera una constante (como si en verdad cada semana vendiéramos 200 reproductores), por lo que esa constante deberá de ser restada al incremento (las unidades extras).

Ahora, de acuerdo a la investigación sabemos que por cada Incremento de 20 reproductores vendidos a la semana, el precio disminuye 10 dólares. De modo, que por cada reproductor adicional vendido, la disminución en el precio es 1/20 * 10. Se representa de esa manera porque tomamos en cuenta el descuento que tendría cada uno y no los 20 en total, (1 de 20 ¿qué precio tendría?) y al valor obtenido lo multiplicamos por 10 que es la cantidad que nosotros aplicaríamos de descuento. De ésta manera:

àFunción de la Demanda:

p(x) = 350 – 10/20 (x-200)

Estos valores sólo han sido sustituidos en la función de Demanda:

 àxp (x):

Donde P es el precio por unidad que la compañía carga si vende x unidades. Entonces p se llama Función de Demanda.

Esto nos dice que el Precio está en Función de la Demanda.

350 es el precio en dólares de un reproductor, a esto le vamos a quitar el descuento que previamente será multiplicado por el Incremento, pues el descuento y el incremento van a ir a la par (de acuerdo al Incremento será el descuento).

Resolviendo/Simplificando la función tenemos:

à450 – 1/2 x

Ahora que tenemos la función de la Demanda, podemos obtener la función de Ingreso.

àR(x) = xp(x) (Recordemos que estas funciones ya existen y la del ingreso depende de los productos vendidos y esto depende lógicamente de la cantidad de demanda, escribí lo mismo, pero igual me ayudan, Ok. Ya los enfadé, lo siento, pero no puedo sola, lo siento mucho.)

Entonces lo que hacemos es sustituir nuestra súper función de demanda como está, dentro de la de Ingreso:

àLa Función de Ingreso:

R(x)= xp (x) =

450 (x) – ½ x (x)=

450x – ½ x ^2 àCon esto sabremos cuánto vamos a ganar si hacemos el descuento de acuerdo a la demanda.

Por la estructura de nuestra función sabemos que es cuadrática y que abre hacia abajo, lo que nos indica entonces un máximo. Éste máximo es el Ingreso tope que podríamos tener y el objetivo de los dueños de la tienda será llegar o aproximarse a tales ingresos.

Oh, y ahora sí se viene lo súper interesante, lo que a todos en verdad nos importa, lo que nos explica todo.

Ahora derivamos 450x – ½ x ^2

450 – 2 (1/2x) ^2 -1 =

450 – 2/2 x =

450 – x

Esto es la pendiente de la Función de Ingresos. Y esto es lo que nos ayudará a determinar nuestros ingresos en la función original al sustituir. La pendiente nos representa la relación de cambio de una magnitud con respecto a otra. Y en éste caso, nos representa el incremento del ingreso con respecto a la demanda.

Lo que debemos hacer es valuar la función y encontrar las raíces. De esa forma, daremos con el máximo.

Sustituimosà 450 – x

X = 450

450 – 450 = 0 àDonde nuestra función se hace 0 es nuestro máximo y esto se da porque en la parte superior la pendiente es cero, y conforme avancemos esto comenzará a decrementar.

Ahora obtendremos el precio correspondiente al que los daremos.

Para ello sustituimos el máximo en la función de la demanda, pues es lo que nos generaría más ingresos.

p (450) = 450 – ½ (450) = 225

p (450) = 450 – 225 = 225

350 – 225 = 125

De esta manera se tendría que hacer un descuento de 125 dólares por reproductor; por lo que el reproductor tendría el precio de 225 dólares.